Problema de teoría de juegos: Colaborar es la clave (Solución)

Aquí está la solución al problema de teoría de juegos: "Colaborar es la clave".

Mi metodología de resolución, pasa por codificar las sentendias del problema. Es decir, el resultado de la moneda para Alice y Bob,

Ma = "Lanzamiento de Alice"
Mb = "Lanzamiento de Bob"

y las predicciones de Alice y Bob.

Pa = "Predicción de Alice"
Pb = "Predicción de Bob"

Los valores que pueden tomar las cuatro variables anteriores con cara (C) o cruz (X).

Las posibildades para Ma y Mb , las cuales son aleatorias, se dan en la tabla de la figura 1.

Figura 1: Posibilidades para los lanzamientos de Alice y Bob.

La clave está en darse cuenta de que primero se lanza la moneda, y después se hace la predicción.  Así que las estrategias definidas por Alice y Bob para hacer las previsiones de cada uno sobre el lanzamiento del otro, Pa y Pb, dependerán de lo que pacten Alice y Bob. Pero hay que darse cuenta, que Pa y Pb, pueden usar la información que resulta de su lanzamiento de moneda Ma y Mb.

Primero veamos cuales son las posibilidade de pérdidas. Ambos, Alice y Bob deberán fallar simultáneamente. Codifiquemos las siguientes sentencias:

Fa = "Alice falla en su previsión"
Fb = "Bob falla en su previsión"

Relacionando Fa con Pa y Mb, y Fb con Pb y Ma, tendremos las siguientes equivalencias:

Fa = (Pa = C ^ Mb=X) v (Pa=X ^ Mb=C)
Fb = (Pb = C ^ Ma=X) v (Pb=X ^ Ma=C)

Siendo ^ y v, los operadores lógicos copulativo y disyuntivo respectivamente, es decir, AND y OR.

Por tanto, perder el juego implicaría que:  Fa ^ Fb sea cierta

Por el contrario, ganar el juego, sería que

1. (Fa = cierta) ^ (Fb = falsa)   ,o bien,
2. (Fa = falsa)  ^ (Fb = cierta)  ,o bien,
3. (Fa = falsa)  ^ (Fb = falsa)

Es decir, que no fallen ambos a la vez. Desde la definición de Fa y Fb, podemos tratar de crear una estrategia que defina la previsión Pa y Pb. Recordar, que no podemos usar Ma para la predicción de Pb, ni Mb para la predicción de Pa, eso sería hacer trampas. Alice y Bob están aislados, pero sí pueden hacer la predicción después de lanzar su moneda.

Eligiendo la primera condición de una de las tres sentencias anteriores, se deduce que debe cumplirse los siguiente:

• Desde que Fa es cierta:
• Si Mb = X, entonces Pa = C
• Si Mb = C, entonces Pa = X
• Desde que Fb es falsa:
• Si Ma = X, entonces Pb = X
• Si Ma = C, entonces Pb = C

En forma de tabla es lo siguiente:

	Ma = C	Ma = X
Mb = C	Pa = X y Pb = C	Pa = X y Pb = X
Mb = X	Pa = C y Pb =C	Pa = C y Pb = X

Desde la anterior tabla, teniendo en cuenta, que para la estrategia Pa, sólo se dispone de Ma, y lo mismo para Pb, 

Se puede definir las estrategias siguientes:

• Pa = Ma
• Pb = Nor Mb

La cual permite ganar siempre al juego (-: 

La exposición anterior, ha sido bastante forma, pero se entiende que la estreategia que deben seguir Alice y Bob, son para Alice, tomar como previsión el mismo resultado de su moneda, y para Bob, el resultado contrario del lanzamiento de su moneda. 

Esto implica que en todos los casos de lanzamientos de Alice y Bob, al menos uno de los dos acertará con su previsión, por tanto ganarán el juego.